প্রমাণ কর যে √2 অথবা √3 একটি অমূলদ সংখ্যা

প্রতিজ্ঞাঃ √2 একটি অমূলদ সংখ্যা।

সমাধানঃ
আমরা জানি, 1 < 2 < 4
                 বা,  √1 < √2 < √4
                 বা,  1 < √2 < 2
সুতরাং, √2 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 2 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √2 পূর্ণ সংখ্যা নয়।
 সুতরাং, √2 মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।
যদি, √2 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
ধরি, √2 = frac{p}{q} ; যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
                বা, 2 = frac{p^{2}}{q^{2}}  [বর্গ করে]
       বা, 2 q = frac{p^{2}}{q}  [উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুন করে]
স্পষ্টত, 2 q পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তু,  frac{p^{2}}{q} পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ, p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
সুতরাং, 2 q এবং  frac{p^{2}}{q} সমান হতে পারে না, অর্থাৎ, 2 q ≠  frac{p^{2}}{q} .
সুতরাং, √2 এর মান frac{p}{q} আকারের কোনও সংখ্যাই হতে পারে না।
অর্থাৎ, √2 ≠  frac{p}{q} .
সুতরাং, √2 মূলদ সংখ্যা নয়।
herefore √2 অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)

কিছু গুরুত্বপূর্ণ কৌশলঃ
এই প্রতিজ্ঞা প্রমাণে, প্রথম লাইন কীভাবে শুরু করা যেতে পারে? কৌশল হলঃ যেহেতু √2 একটি অমূলদ সংখ্যা প্রমাণ করতে হবে, তাই এক্ষেত্রে, মনে মনে  √ বাদ দিয়ে শুধুমাত্র 2 সংখ্যাটি বিবেচনা করতে হবে। এরপর 2 এর ঠিক আগের ও পরের বর্গ সংখ্যা চিন্তা করতে হবে। নিচে বর্গ সংখ্যার নামতা দেয়া হল...
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
4 x 4 = 16
5 x 5 = 25
6 x 6 = 36
… ইত্যাদি
দেখা যাচ্ছে, 2 এর ঠিক আগের ও পরের বর্গ সংখ্যা 1 ও 4.
তাহলে প্রথম লাইন আমরা শুরু করবো, 1 < 2 < 4 এভাবে...
যদি, √7 একটি অমূলদ সংখ্যা প্রমাণ করতে বলে, তাহলে প্রথম লাইনটি হবে,
4 < 7 < 9

প্রতিজ্ঞাঃ √3 একটি অমূলদ সংখ্যা।

সমাধানঃ
আমরা জানি, 1 < 3 < 4
                    বা,  √1 < √3 < √4
                    বা,  1 < √3 < 2
সুতরাং, √3 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 2 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √3 পূর্ণ সংখ্যা নয়।
 সুতরাং, √3 মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।
যদি, √3 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
ধরি, √3 = frac{p}{q} ; যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
                বা, 3 = frac{p^{2}}{q^{2}} [বর্গ করে]
বা, 3q = frac{p^{2}}{q}  [উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুন করে]
স্পষ্টত, 3 q পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তু, frac{p^{2}}{q}  পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ, p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
সুতরাং, 3 q এবং frac{p^{2}}{q}  সমান হতে পারে না, অর্থাৎ, 3 q ≠ frac{p^{2}}{q}  .
সুতরাং, √3 এর মান frac{p}{q}  আকারের কোনও সংখ্যাই হতে পারে না।
অর্থাৎ, √3 ≠  frac{p}{q} .
সুতরাং, √3 মূলদ সংখ্যা নয়।
herefore √3 অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

অধ্যায় - ৮: আলোর প্রতিফলন (পদার্থ বিজ্ঞান MCQ)

১. উত্তল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ 14 সেমি. হলে ফোকাস দূরত্ব কত? ক) 10cm খ) 7cm গ) 3.5cm ঘ) 28cm সঠিক উত্তর: (খ) ২. উত্তল দর্পণ আলোক রশ্মিকে কী করে? ক) অভিসারী করে খ) বিস্তৃত করে গ) অপসারী করে ঘ) অবমিত করে সঠিক উত্তর: (গ) ৩. অবাস্তব বিম্ব- i. চোখে দেখা যায় ii. পর্দায় ফেলা যায় iii. অবতল ও উত্তল দর্পণে উৎপন্ন হয় নিচের কোনটি সঠিক? ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii সঠিক উত্তর: (খ) ৪. বিম্বের আকার নির্ভর করে- i. দর্পণের উপর ii. বস্তুর অবস্থানের উপর iii. লেন্সের ধরনের উপর নিচের কোনটি সঠিক? ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii সঠিক উত্তর: (ঘ) ৫. ভাল সমতল দর্পণের বৈশিষ্ট্য- i. দর্পণের পুরুত্ব কম এবং সুষম হতে হবে ii. দর্পণের পৃষ্ঠ সমতল হতে হবে iii. দর্পণের কাচ বায়ু বুদবুদ শূন্য হবে নিচের কোনটি সঠিক? ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii সঠিক উত্তর: (ঘ) ৬. দন্ত চিকিৎসকগণ কোন দর্পণ ব্যবহার করেন? ক) সমতল দর্পণ খ) অপসারী দপর্ণ গ) উত্তল দর্পণ ঘ) অবতল দর্পণ সঠিক উত্তর: (ঘ) ৭. দীপ্তিহীন বস্তু- i. অন্ধকারে বিড়ালের চোখ ii. আলোকিত সিনেমার পর্দা iii. টেবিল নিচের কোনটি সঠ...
Read more

প্রমাণ কর যে √5 এবং √7 একটি অমূলদ সংখ্যা

Image
    প্রমাণঃ √5 এবং √7 অমূলদ সংখ্যা প্রতিজ্ঞাঃ  √ 5  একটি অমূলদ সংখ্যা। সমাধানঃ আমরা জানি,  4 < 5 < 9                   বা,  √ 4 <  √5 < √9                   বা,  2 < √5 < 3 সুতরাং,  √5  এর মান  2  অপেক্ষা বড় এবং  3  অপেক্ষা ছোট। অতএব,  √5  পূর্ণ সংখ্যা নয়।   সুতরাং,  √5  মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা। যদি,  √5  মূলদ সংখ্যা হয় তবে, ধরি,  √5  =    ; যেখানে  p  ও  q  উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং  q   > 1              বা,    [বর্গ করে] বা,    [উভয়পক্ষকে  q  দ্বারা গুন করে] স্পষ্টত,  5 q  পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তু,    পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ,  p  ও  q  উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এব...
Read more