প্রমাণ কর যে √5 এবং √7 একটি অমূলদ সংখ্যা


   প্রমাণঃ √5 এবং √7 অমূলদ সংখ্যা




প্রতিজ্ঞাঃ √5 একটি অমূলদ সংখ্যা।

সমাধানঃ
আমরা জানি, 4 < 5 < 9
                  বা,  √4 < √5 < √9
                  বা,  2 < √5 < 3
সুতরাং, √5 এর মান 2 অপেক্ষা বড় এবং 3 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √5 পূর্ণ সংখ্যা নয়।
 সুতরাং, √5 মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।
যদি, √5 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
ধরি, √5 = frac{p}{q} ; যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
            বা, 5 = frac{p^{2}}{q^{2}} [বর্গ করে]
বা, 5q = frac{p^{2}}{q} [উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুন করে]
স্পষ্টত, 5q পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তু, frac{p^{2}}{q} পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ, p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
সুতরাং, 5q এবং frac{p^{2}}{q} সমান হতে পারে না, অর্থাৎ, 5q ≠ frac{p^{2}}{q} .
সুতরাং, √5 এর মান frac{p}{q} আকারের কোনও সংখ্যাই হতে পারে না।
অর্থাৎ, √5 ≠ frac{p}{q} .
সুতরাং, √5 মূলদ সংখ্যা নয়।
herefore √5 অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)


কিছু গুরুত্বপূর্ণ কৌশলঃ
এই প্রতিজ্ঞা প্রমাণে, প্রথম লাইন কীভাবে শুরু করা যেতে পারে? কৌশল হলঃ যেহেতু √5একটি অমূলদ সংখ্যা প্রমাণ করতে হবে, তাই এক্ষেত্রে, মনে মনে  √ বাদ দিয়ে শুধুমাত্র 5সংখ্যাটি বিবেচনা করতে হবে। এরপর 5 এর ঠিক আগের ও পরের বর্গ সংখ্যা চিন্তা করতে হবে। নিচে বর্গ সংখ্যার নামতা দেয়া হলও...
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
4 x 4 = 16
5 x 5 = 25
6 x 6 = 36
… ইত্যাদি
দেখা যাচ্ছে, 5 এর ঠিক আগের ও পরের বর্গ সংখ্যা 4 ও 9.
তাহলে প্রথম লাইন আমরা শুরু করবো, 4 < 5 < 9 এভাবে...
যদি, √11 একটি অমূলদ সংখ্যা প্রমাণ করতে বলে, তাহলে প্রথম লাইনটি হবে,
9 < 11 < 16


প্রতিজ্ঞাঃ √7 একটি অমূলদ সংখ্যা।

সমাধানঃ
আমরা জানি, 4 < 7 < 9
               বা,  √4 < √7 < √9
               বা,  2 < √7 < 3
সুতরাং, √7 এর মান 2 অপেক্ষা বড় এবং 3 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √7 পূর্ণ সংখ্যা নয়।
 সুতরাং, √7 মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।
যদি, √7 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
ধরি, √7 = frac{p}{q} ; যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
            বা, 7 = frac{p^{2}}{q^{2}} [বর্গ করে]
   বা, 7q = frac{p^{2}}{q}  [উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুন করে]
স্পষ্টত, 7q পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তু, frac{p^{2}}{q} পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ, p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
সুতরাং, 7q এবং frac{p^{2}}{q} সমান হতে পারে না, অর্থাৎ, 7q ≠ frac{p^{2}}{q} .
সুতরাং, √7 এর মান  frac{p}{q}  আকারের কোনও সংখ্যাই হতে পারে না।
অর্থাৎ, √7 ≠ frac{p}{q} .
সুতরাং, √7 মূলদ সংখ্যা নয়।
herefore √7 অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)




Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

অধ্যায় - ৮: আলোর প্রতিফলন (পদার্থ বিজ্ঞান MCQ)

১. উত্তল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ 14 সেমি. হলে ফোকাস দূরত্ব কত? ক) 10cm খ) 7cm গ) 3.5cm ঘ) 28cm সঠিক উত্তর: (খ) ২. উত্তল দর্পণ আলোক রশ্মিকে কী করে? ক) অভিসারী করে খ) বিস্তৃত করে গ) অপসারী করে ঘ) অবমিত করে সঠিক উত্তর: (গ) ৩. অবাস্তব বিম্ব- i. চোখে দেখা যায় ii. পর্দায় ফেলা যায় iii. অবতল ও উত্তল দর্পণে উৎপন্ন হয় নিচের কোনটি সঠিক? ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii সঠিক উত্তর: (খ) ৪. বিম্বের আকার নির্ভর করে- i. দর্পণের উপর ii. বস্তুর অবস্থানের উপর iii. লেন্সের ধরনের উপর নিচের কোনটি সঠিক? ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii সঠিক উত্তর: (ঘ) ৫. ভাল সমতল দর্পণের বৈশিষ্ট্য- i. দর্পণের পুরুত্ব কম এবং সুষম হতে হবে ii. দর্পণের পৃষ্ঠ সমতল হতে হবে iii. দর্পণের কাচ বায়ু বুদবুদ শূন্য হবে নিচের কোনটি সঠিক? ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii সঠিক উত্তর: (ঘ) ৬. দন্ত চিকিৎসকগণ কোন দর্পণ ব্যবহার করেন? ক) সমতল দর্পণ খ) অপসারী দপর্ণ গ) উত্তল দর্পণ ঘ) অবতল দর্পণ সঠিক উত্তর: (ঘ) ৭. দীপ্তিহীন বস্তু- i. অন্ধকারে বিড়ালের চোখ ii. আলোকিত সিনেমার পর্দা iii. টেবিল নিচের কোনটি সঠ...
Read more

প্রমাণ কর যে √2 অথবা √3 একটি অমূলদ সংখ্যা

Image
প্রতিজ্ঞাঃ √2 একটি অমূলদ সংখ্যা। সমাধানঃ আমরা জানি, 1 < 2 < 4                  বা,  √1 < √2 < √4                  বা,  1 < √2 < 2 সুতরাং, √2 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 2 অপেক্ষা ছোট। অতএব, √2 পূর্ণ সংখ্যা নয়।  সুতরাং, √2 মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা। যদি, √2 মূলদ সংখ্যা হয় তবে, ধরি, √2 =   ; যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1                 বা, 2 =     [বর্গ করে]        বা, 2 q =    [উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুন করে] স্পষ্টত, 2 q পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তু,    পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ, p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1 সুতরাং, 2 q এবং    সমান হতে পারে না, অর্থাৎ, 2 q ≠      . সুতরাং, √2 এর মান   আকারের কোনও সংখ্যাই হতে পারে না। অর্থাৎ, √2 ≠ ...
Read more