বাস্তব সংখ্যা ও এর শ্রেণিবিভাগ

বাস্তব সংখ্যা ( Real Number )

সূচনা ( Introduction )

  গণিতে আমরা সাধারণত পাটিগণিত , বীজগণিত , জ্যামিতি , স্থানাঙ্ক জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি সম্পর্কে শিখেছি। এদের মধ্যে বিষয়গত কিছু পার্থক্য থাকলেও এইসব বিষয়ের আলোচনা মূলত সংখ্যা ও গণিতের মূলত চারটি প্রক্রিয়াকে ( অর্থাৎ যোগ , বিয়োগ ,গুণ এবং ভাগ ) ভিত্তি করে গড়ে উঠেছে। কলনবিদ্যায় সংখ্যা ও চারটি মূলগত প্রক্রিয়া ছাড়াও নতুন ধারণা ( অসীম , অপেক্ষক ও সীমার ধারণা ) প্রয়োগ করা হয়। এই নতুন মূলগত ধারণা গুলি একটি সংখ্যাশ্রেণিকে ভিত্তি করে গড়ে উঠেছে। এই সংখ্যাশ্রেণিকে বাস্তব সংখ্যাশ্রেণি বলা হয়। এই সংখ্যা শ্রেণির সাহায্যে যেকোনো দৈর্ঘ্য পরিমাপ সম্ভব এবং এর মধ্যে গণিতের মূলত চারটি প্রক্রিয়া ( অর্থাৎ যোগ , বিয়োগ , গুণ ও ভাগ ) প্রয়োগ করা যায় ও প্রক্রিয়াগুলির সাপেক্ষে সংখ্যশ্রেণিটি বদ্ধ ( closed ) , অর্থাৎ প্রক্রিয়াগুলির প্রয়োগে যে ফল পাওয়া যায় তা ওই সংখ্যশ্রেণির অন্তর্গত হয়। 

  সংখ্যা ( Number )

  উচ্চতর গণিতে সংখ্যা সম্পর্কে বিস্তারিত ভাবে আলোচনা করা হয়েছে এখানে আমরা শুধুমাত্র কলনবিদ্যায় প্রয়োজনীয় বিষয় সম্পর্কে আলোচনা করবো। 

স্বাভাবিক সংখ্যা ( Natural Number )

  সংজ্ঞা ( Definition ) :- বস্তুসমূহ গণনার প্রয়োজনে 1 , 2 , 3 , 4 , ........... সংখ্যা সমূহের উৎপত্তি হয় এবং এইসব সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা ( Natural Number )বলা হয় 

      স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা সূচিত করা হয় , অর্থাৎ 

N={1,2,3,4.............}$N=\left\{1,2,3,\mathrm{4.............}\right\}$ অথবা N = { x : x  একটি স্বাভাবিক সংখ্যা }

 যে স্বাভাবিক সংখ্যা 1 এবং ওই সংখ্যা ছাড়া অন্যকোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয় তাকে মৌলিক সংখ্যা ( Prime Number ) বলে। যেমন 2 , 3 , 5 , 7 , 11  ইত্যাদি। এই সমস্ত সংখ্যাগুলি 1 ও ওই সংখ্যা ব্যাতিত অন্যকোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজিত হয় না। অন্যভাবে যে স্বাভাবিক সংখ্যা 1 এবং ওই সংখ্যা ব্যাতিত অন্য সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয় তাকে যৌগিক সংখ্যা ( Composite Number ) বলে। যেমন 4 , 6 , 10  ইত্যাদি। 4 সংখ্যাটি 1 , 2 এবং 4 ; 6 সংখ্যাটি 1 , 2 , 3 এবং 6 ও 10 সংখ্যাটি 1 , 2 , 5 এবং 10 দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ 1 এবং ওই সংখ্যা ছাড়াও অন্যান্য সংখ্যা দ্বারা বিভাজিত হয়েছে। দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে যদি 1 ব্যাতিত অন্য কোনো উৎপাদক না থাকে তবে সংখ্যা দুটিকে পরস্পরের মৌলিক সংখ্যা ( Prime to each other )বলে। যেমন 4 এবং 9 এরা পরস্পরের মৌলিক সংখ্যা কারণ এরা নিজেরা মৌলিক সংখ্যা না হলেও এদের মধ্যে 1ব্যাতিত আর অন্য কোনো উৎপাদক নেই। 

    স্পষ্টত দেখা যাচ্ছে যে যোগ ও গুণ প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে স্বাভাবিক সংখ্যা বদ্ধ , অর্থাৎ দুই বা ততোধিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল অথবা গুণফল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয় ( যেমন 4 + 7 = 11 এবং 4×7=28$4\times 7=28$)। কিন্তু বিয়োগ বা ভাগের ক্ষেত্রে স্বাভাবিক সংখ্যা বদ্ধ নয় , অর্থাৎ দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে বিয়োগফল বা ভাগফল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা নাও হতে পারে ( যেমন 4 - 7 = -3 এবং 4÷7=47$4÷7=\frac{4}{7}$)। 

পূর্ণসংখ্যা বা অখন্ড সংখ্যা ( Integers )

সংজ্ঞা( Definition ):- স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সঙ্গে 0 , -1 , -2 , -3 , ..........সংখ্যা সমূহের সংযোজন করে যেসব সংখ্যা পাওয়া যায় তাদের পূর্ণসংখ্যা বা অখন্ড সংখ্যা ( Integers ) বলে।   

     পূর্ণসংখ্যার সেটকে সাধারণত I দ্বারা সূচিত করা হয় ; অর্থাৎ 

I={0,±1,±2,.............}$I=\left\{0,\pm 1,\pm 2,.............\right\}$ অথবা I = { a : a একটি পূর্ণসংখ্যা }

    পূর্ণসংখ্যা সেটের 1 , 2 , 3 , .......... সংখ্যাগুলিকে বলা হয় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ( Positive Integers ) এবং -1 , -2 , -3 , .............. সংখ্যাগুলিকে বলা হয় ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ( Negative Integers )। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটাকে I+$I^{+}$ এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটাকে I−$I^{-}$ দ্বারা সূচিত করা হয়। অর্থাৎ 

I+={1,2,3,..........};I−={−1,−2,−3,.........}$I^{+}=\left\{1,2,3,..........\right\};I^{-}=\left\{-1,-2,-3,.........\right\}$

   যেসমস্ত পূর্ণসংখ্যা দুই দ্বারা বিভাজ্য তাদের জোড় বা যুগ্ম পূর্ণসংখ্যা ( even integer ) বলা হয়। যেমন ±2,±4,±6,.........$\pm 2,\pm 4,\pm 6,.........$ . শূন্যকে একটি যুগ্ম সংখ্যা হিসাবে ধরা হয়। n যেকোনো একটি পূর্ণসংখ্যা হলে 2n সর্বদা যুগ্ম পূর্ণসংখ্যা হবে। যেসমস্ত পূর্ণসংখ্যা দুই দ্বারা বিভাজ্য হয়না তাদেরকে বিজোড় বা অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা ( odd integer ) বলা হয়। যেমন ±1,±3,±5,.........$\pm 1,\pm 3,\pm 5,.........$. n যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে ( 2n + 1) বা ( 2n - 1) সর্বদা অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা হবে। 

     সহজেই বোঝাযায় যে যোগ , বিয়োগ এবং গুণ এর ক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যার সেট বদ্ধ। অর্থাৎ যোগ , বিয়োগ এবং গুণের ক্ষেত্রে যে ফল পাওয়া যায় তা পূর্ণসংখ্যা সেটের অন্তর্গত। কিন্তু ভাগের ক্ষেত্রে যে ভাগফল পাওয়া যায় তা সর্বদা পূর্ণসংখ্যা সেটের অন্তর্গত হয়না , যেমন 2÷3=23$2÷3=\frac{2}{3}$ .

মূলদ সংখ্যা ( Rational Numbers )

সংজ্ঞা ( Definition ):- p এবং q (≠0)$\left(\ne 0\right)$ দুটি পূর্ণ সংখ্যা হলে pq$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশিত সংখ্যা মূলদ সংখ্যা ( Rational Number ) বলে। এখানে p ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা অথবা শূন্য হতে পারে এবং q সর্বদা স্বাভাবিক সংখ্যা হবে।  

      p ও q কে পরস্পরের মৌলিক ধরা হয়। অর্থাৎ 1 ব্যাতিত এদের মধ্যে অন্য কোনো উৎপাদক থাকবেনা। যদি অন্য কোনো উৎপাদক থাকে তবে তা অপসারণ করে তাকে নিম্নরূপ আকারে প্রকাশ করা হয়। যেমন 51,−31,34,1215=45$\frac{5}{1},-\frac{3}{1},\frac{3}{4},\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$ .

    মূলদ সংখ্যার সেটকে সাধারণত Q দ্বারা সূচিত করা হয়। অর্থাৎ 

Q={pq:p∈I,q∈N}$Q=\left\{\frac{p}{q}:p\in I,q\in N\right\}$

শূন্য দ্বারা ভাগ ( Division by Zero )

       ধরি a যেকোনো মূলদ সংখ্যা। আমরা জানি a×0=0$a\times 0=0$          ............(i)

স্পষ্টত a এর মান যেকোনো মূলদ সংখ্যা হতে পারে। এখন ভাগের সংজ্ঞানুযায়ী (i) থেকে পাই 00=a$\frac{0}{0}=a$ . অর্থাৎ 00$\frac{0}{0}$ এর মান যেকোনো মূলদ সংখ্যা হতে পারে। সুতরাং শূন্য কে শূন্য দ্বারা ভাগ করলে কোনো অর্থ হয়না অর্থাৎ অনির্ণেয়। 

      আবার a≠0$a\ne 0$ এবং b দুটি মূলদ সংখ্যা এবং ab=0$\frac{a}{b}=0$ হলে  ভাগের সংজ্ঞানুযায়ী , a=0×b$a=0\times b$ .আবার আমরা জানি b×0=0$b\times 0=0$ .সুতরাং a = 0 যা কল্পনাবিরোধী। সুতরাং a0$\frac{a}{0}$ এর কোনো অর্থ নেই। 

   অর্থাৎ শূন্য দ্বারা ভাগ অসংজ্ঞাত। 

মূলদ সংখ্যার ধর্মাবলি ( Properties of Rational Numbers )

(i) চারটি মূলগত প্রক্রিয়া অর্থাৎ যোগ , বিয়োগ , গুণ ও ভাগ ( শূন্য দ্বারা ভাগ ছাড়া ) সাপেক্ষে মূলদ সংখ্যা বদ্ধ , অর্থাৎ দুটি মূলদ সংখ্যার যোগফল , বিয়োগফল , গুণফল ও ভাগফল একটি মূলদ সংখ্যার হবে। উদারণস্বরূপ 

যোগফল =23+45=10+1215=2215=$=\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\frac{10+12}{15}=\frac{22}{15}=$ মূলদ সংখ্যা 

বিয়োগফল =23−45=10−1215=−215=$=\frac{2}{3}-\frac{4}{5}=\frac{10-12}{15}=\frac{-2}{15}=$ মূলদ সংখ্যা 

গুণফল =23×45=815=$=\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}=$ মূলদ সংখ্যা 

ভাগফল =23÷45=23×54=56=$=\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times \frac{5}{4}=\frac{5}{6}=$ মূলদ সংখ্যা 

(ii) মূলদ সংখ্যার সেট বিনিময় ( commutative ) , সংযোগ ( associative ) এবং বিচ্ছেদ ( distributive ) সূত্র সিদ্ধ করে। যদি a , b ও c তিনটি মূলদ সংখ্যা হয় তাহলে 

(১) a + b = b + a ( যোগের বিনিময় নিয়ম ) এবং 

a×b=b×a$a\times b=b\times a$ ( গুণের বিনিময় নিয়ম )

(২) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( যোগের সংযোগ নিয়ম ) এবং 

(a×b)×c=a×(b×c)$\left(a\times b\right)\times c=a\times \left(b\times c\right)$ ( গুণের সংযোগ নিয়ম )

(৩) (a+b)×c=(a×c)+(b×c)$\left(a+b\right)\times c=\left(a\times c\right)+\left(b\times c\right)$ এবং 

a×(b+c)=(a×b)+(a×c)$a\times \left(b+c\right)=\left(a\times b\right)+\left(a\times c\right)$ ( বিচ্ছেদ নিয়ম )

(iii) a এবং b দুটি মূলদ সংখ্যা হলে হয় a > b অথবা a = b নাহলে a < b হবে। একে ত্রিভাগ বা ত্রিবিকল্প নিয়ম ( trichotomy law ) বলা হয়। 

(iv) a , b ও c তিনটি মূলদ সংখ্যা এবং a≥b,b>c$a\ge b,b>c$ হলে a > c হবে। আবার a≤b,b<c$a\le b,b<c$ হলে a < c হবে। একে ক্রম নিয়ম ( order law ) বলা হয়। 

(v) মূলদ সংখ্যা সমূহ সর্বত্র নিবিড় ( dense ) অর্থাৎ দুটি প্রদত্ত মূলদ সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে। 

মূলদ সংখ্যার দশমিক আকার ( Decimal form of Rational Numbers )

       মূলদ সংখ্যাকে দশমিক আকারে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ 

34=0⋅75,98=1⋅125,29740=7⋅425$\frac{3}{4}=0\cdot 75,\frac{9}{8}=1\cdot 125,\frac{297}{40}=7\cdot 425$............(i)

আবার 43=1⋅3˙,57=0⋅7˙14285˙,229=2⋅4˙$\frac{4}{3}=1\cdot \dot{3},\frac{5}{7}=0\cdot \dot{7}1428\dot{5},\frac{22}{9}=2\cdot \dot{4}$.......(ii)

স্পষ্টতই (i) প্রদত্ত মূলদ সংখ্যা গুলির দশমিক আকার সসীম ( terminating decimal ) এবং (ii) মূলদ সংখ্যাগুলির দশমিক আকার আবৃত্ত অসীম ( non terminating recurring decimal ) .সুতরাং সহজেই বোঝাযায় যেকোনো মূলদ সংখ্যাকে সসীম দশমিকে অথবা আবৃত্ত দশমিকে প্রকাশ করা যায়। 

আবার দেখা যায় 

0⋅375=3751000=38,2⋅03=203100$0\cdot 375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8},2\cdot 03=\frac{203}{100}$...........(iii)

এবং 2⋅7˙3˙=273−299=27199,0⋅32˙5˙=325−3990=161495$2\cdot \dot{7}\dot{3}=\frac{273-2}{99}=\frac{271}{99},0\cdot 3\dot{2}\dot{5}=\frac{325-3}{990}=\frac{161}{495}$............(iv)

স্পষ্টতই (iii) এবং (iv) থেকে বোঝাযায় কোনো সংখ্যা সসীম অথবা আবৃত্ত দশমিকের আকারে থাকলে তাকে মূলদ সংখ্যার আকারে প্রকাশ করা যায়। সুতরাং কোনো সংখ্যাকে যদি সসীম অথবা আবৃত্ত দশমিকের আকারে প্রকাশ করা না যায় তাকে মূলদ সংখ্যা বলা যায়না। উদাহরণস্বরূপ 

1.414213.......... , 2.1625923..........  এই দুটি সংখ্যার দশমিক আকার অসীম এবং অপৌনঃপুনিক বলে মূলদ সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা যায়না এদেরকে অমূলদ সংখ্যা বলে। 

অমূলদ সংখ্যা ( Irrational Numbers )

সংজ্ঞা ( Definition ):- যেসমস্ত সংখ্যাকে pq$\frac{p}{q}$ ( p∈I$p\in I$ এবং q∈N$q\in N$ )আকারে প্রকাশ করা যায়না অথবা যাদের দশমিক আকার অপৌনঃপুনিক ও অসীম তাকে অমূলদ সংখ্যা ( Irrational Numbers ) বলা হয়। 

বীজগাণিতিক ও অবীজগাণিতিক সংখ্যা ( Algebraic and Non algebraic or Transcendental Numbers )

    গণিতে ব্যবহৃত সংখ্যসমূহকে দুই ভাগে ভাগ করা যায় (১) বীজগাণিতিক সংখ্যা (২) অবীজগাণিতিক সংখ্যা। 

(১) বীজগাণিতিক সংখ্যা :- যেসব সংখ্যাকে কোনো বীজগাণিতিক সমীকরণের মূল হিসাবে পাওয়া যায় তাকে বীজগাণিতিক সংখ্যা বলা হয়। এই সংখ্যা মূলদ বা অমূলদ দুই রকম হতে পারে। যেমন x−4=0⇒x=4$x-4=0\Rightarrow x=4$ আবার x2=2⇒x=2–√$x^2=2\Rightarrow x=\sqrt{2}$ .

(২)অবীজগাণিতিক সংখ্যা :- ত্রিকোনমিতিতে ব্যবহৃত π$\pi$ এবং বীজগণিতে ব্যবহৃত e$e$ এই সংখ্যা গুলি কোনো সংখ্যার মূল নয় এদেরকে অবীজগাণিতিক সংখ্যা বলে। এই সংখ্যা কখনো মূলদ হতে পারেনা। 

বাস্তব সংখ্যা ( Real Numbers ) 

সংজ্ঞা ( Definition ) :-  মূলদ সংখ্যাসমূহের সাথে  অমূলদ সংখ্যাসমূহকে  যোগ করে যেসব সংখ্যা পাওয়া যায় তাকে বাস্তব সংখ্যা ( Real Numbers ) বলা হয়। 

   বাস্তব সংখ্যার সেটকে R দ্বারা সূচিত করা হয় , অর্থাৎ 

R = { x : x একটি বাস্তব সংখ্যা }

   মূলদ সংখ্যায় আমরা দেখেছি মূলদ সংখ্যা নিবিড় ( dense ) . যেকোনো মূলদ সংখ্যাকে সংখ্যা অক্ষের উপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু ধরা হয়। কিন্তু এতটাও নিবিড় নয় যাতে সংখ্যা অক্ষের উপর যেকোনো বিন্দু একটি মূলদ সংখ্যা হতে পারে। অন্যভাবে বলা যায় মূলদ সংখ্যা নিবিড় হলেও তাদের মধ্যে ফাঁক আছে। সংখ্যা অক্ষের উপর দুটি মূলদ বিন্দুর মধ্যে এমন অনেক বিন্দু আছে তারা মূলদ সংখ্যার অন্তর্গত নয় এই সব বিন্দুকে অমূলদ সংখ্যা বলে। সুতরাং সংখ্যা অক্ষের উপর যেকোনো বিন্দু মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে। এখন এমন সংখ্যাগোষ্ঠীর কথা ধরা হল যার প্রত্যেকটি সংখ্যা সংখ্যা অক্ষের উপর এক একটি বিন্দুকে বোঝায়। এই সংখ্যাগোষ্ঠীকে বাস্তব সংখ্যা গোষ্ঠী বলা হয়। এক্ষেত্রে সংখ্যা অক্ষকে বাস্তব অক্ষ এবং প্রত্যেকটি বিন্দুকে বাস্তব বিন্দু বলে। বাস্তব সংখ্যার এইরকম ধারণাকে ক্যান্টর -ডেডিকিন্ডের ( Cantar - Dedekind 's ) বলে। 

ক্যান্টর -ডেডিকিন্ডের ( Cantar - Dedekind 's ):-  প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার অনুরূপ কেবল একটি বিন্দু সংখ্যা অক্ষের উপরে থাকবে , বিপরীতক্রমে সংখ্যা অক্ষের উপরে অবস্থিত প্রত্যেক বিন্দু কেবল একটি বাস্তব সংখ্যাকে প্রকাশ করবে। 

পাটীগণিতীয় অবিচ্ছিন্নতা এবং রৈখিক অবিচ্ছিন্নতা ( Arithmetical Continuum and Linear Continuum )

   সমগ্র বাস্তব সংখ্যসমূহকে নিয়ে পাটীগণিতীয় অবিচ্ছিন্নতা গঠিত হয়। আবার সংখ্যা অক্ষের উপরে অবস্থিত কোনো বিন্দু ( যাদের প্রত্যেকটি পাটীগণিতীয় অবিচ্ছিন্নতার অন্তর্গত একটি বাস্তব সংখ্যাকে প্রকাশ করে ) নিয়ে রৈখিক অবিচ্ছিন্নতা গঠিত হয়। দেখা যাচ্ছে পাটীগণিতীয় অবিচ্ছিন্নতা ও রৈখিক অবিচ্ছিন্নতা উভয়ই ফাঁক হীন। 

বাস্তব সংখ্যার ধর্মাবলি ( Properties of Real Numbers )

  যেহেতু মূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার মধ্যে অন্তর্গত সেই কারণে মূলদ সংখ্যার ধর্মাবলি বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। এছাড়াও বাস্তব সংখ্যার নিম্নলিখিত কয়েকটি ধর্ম আছে -

1. বাস্তব সংখ্যা দ্বারা যেকোনো দৈর্ঘ্য পরিমাপ করা যায় , অর্থাৎ সংখ্যা অক্ষের উপরে অবস্থিত যেকোনো বিন্দু বাস্তব সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা যায়। 
2. বাস্তব সংখ্যা সর্বত্র নিবিড় তাদের মধ্যে কোনো ফাঁক নেই। অর্থাৎ দুটি বাস্তব সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য বাস্তব সংখ্যা থাকে। 
3. সব বীজগাণিতিক ও অবিজগাণিতিক সংখ্যা বাস্তব সংখ্যা সেটের অন্তর্গত হয়। 
4. কোনো বাস্তব সংখ্যা সেটের প্রকাশ সসীম  অথবা আবৃত্ত ও অসীম অথবা অপৌনঃপুনিক ও অসীম হতে পারে। যদি কোনো সংখ্যাকে দশমিকে প্রকাশ করলে যদি সসীম অথবা আবৃত্ত অসীম হয় , তবে বাস্তব সংখ্যাটি মূলদ হবে। তা না হলে তা অমূলদ সংখ্যাকে প্রকাশ করবে।